Auf die Frage „Wozu braucht man eigentlich Mathematik“ fällt wahrscheinlich jedem die moderne Datenverarbeitung mit Computern ein.
Dass in Wirklichkeit unsere gesamte moderne technisierte Welt von Anwendungen aus dem Bereich der Mathematik durchsetzt ist, ist dem mathematischen Laien meist nicht bewusst.
Kein Auto würde fahren, keine Küchenmaschine funktionieren, kein Nahverkehrssystem könnte angemessen organisiert werden, kein kompliziertes medizinisches Gerät würde arbeiten, wenn nicht die Mathematik Verfahren, Methoden und Theorien zur Lösung der dabei auftretenden Probleme bereitstellen würde.
Abgesehen von diesem Bezug zu Anwendungen in unserer hochtechnisierten Umwelt stellt der Umgang mit der Mathematik eine wichtige Möglichkeit dar, die eigene logische und systematische Denkfähigkeit zu schulen. Die logische Durchdringung des aus Definitionen, Sätzen und Strategien bestehenden Gerüstes der Mathematik ist die vorherrschende Methode des Mathematikunterrichts.
Die Unabhängigkeit mathematischer Ideen von der jeweiligen Zeit und den direkten Anwendungen verdeutlicht nachfolgendes Zitat über den berühmten griechischen Mathematiker Archimedes
(285 v. Chr. – 212) und dem griechischen Dichter Aischylos (525 v. Chr. – 456).
„An Archimedes wird man noch denken, wenn Aischylos vergessen ist, denn Sprachen sterben, mathematische Ideen nicht[1]“.
Dieses Zitat über die „Unsterblichkeit“ mathematischer Ideen kann an einem mathematischen Problem aus dem 17. Jahrhundert verdeutlicht werden.
Der berühmte französische Mathematiker Fermat stellte folgende Vermutung auf:
Die Gleichung xn + y n = zn hat für n >2 keine natürlichen Zahlen als Lösung.
Für n = 2 wird die Gleichung durch die pythagoreischen Zahlen gelöst, z. B. 32+ 42 = 52.
Über drei Jahrhunderte haben viele berühmte Mathematiker sich vergebens am Beweis des Satzes versucht. Erst 1995 gelang dem britischen Mathematiker Wiles der entscheidende Durchbruch. Auf 180 Seiten veröffentlichte er den inzwischen international anerkannten Beweis, für den er viele Ehrungen und ausgelobte Preise erhielt. Danach stand fest: Wiles zählt zu den größten Mathematikern des Jahrhunderts.
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Archimedes (um 287 – 212 v. Chr.) |
Pierre de Fermat (1601 – 1665) |
| Archimedes griechischer Mathematiker und Physiker, der bedeutende Werke über ebene Geometrie und Stereometrie, Arithmetik und Mechanik verfasste | Der französische Mathematiker Pierre de Fermat leistete u.a. bedeutende Arbeiten zur analytischen Geometrie und zur Infinitesimalrechnung sowie zur Zahlentheorie und zur Wahrscheinlichkeitsrechnung |
Den Ehrgeiz, solche Mathematikgenies zu produzieren, hat das Köln-Kolleg nicht. Der Mathematikunterricht wendet sich an Studierende, die sich nach Abschluss einer ersten Bildungsphase erneut mit Mathematik beschäftigen wollen.
Vorkurs und Einführungsphase
Im Vorkurs und der Einführungsphase (1. bis 2. Semester) am Köln-Kolleg gilt es, die am Anfang zum Teil sehr unterschiedlichen Lernerfahrungen und Vorkenntnisse der Studierenden zu einem einheitlichen Kenntnisstand zusammen zu führen und die für die erfolgreiche Teilnahme am Mathematikunterricht der Hauptphase erforderlichen Voraussetzungen zu schaffen.
Im Mittelpunkt der Arbeit in der Einführungsphase steht daher die Wiederholung der wichtigsten Unterrichtsthemen der Mittelstufe der Gymnasien bzw. der Klassen 9 und 10 der Realschulen.
Hier sind besonders zu nennen: Bruchrechnung, Potenzrechnung, Termumformung, Aufbau des Zahlensystems, Funktionsbegriff, lineare Funktion, quadratische Funktion, Exponential- und Logarithmusfunktion.
Qualifikationsphase
In der Hauptphase (3. bis 6. Semester) werden die Themenbereiche behandelt, die für die Erteilung des Abiturs unmittelbar relevant sind.
Das dritte Semester am Köln-Kolleg ist der Einführung in die Differentialrechnung gewidmet. Neben den grundlegenden Begriffen wie z.B. Tangentensteigung, Differenzierbarkeit und der sich daraus ergebenden Untersuchung und Bestimmung von Funktionen können auch Anwendungen und Modellbildungen behandelt werden, die die Studierenden zu eigener Arbeit und einem vertiefenden Interesse anregen sollen. Die dazu eingesetzten Lernmittel bieten in diesem Zusammenhang interessante Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen.
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Die Begründer der Differential- und Integralrechnung |
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Sir Isaac Newton (1643 – 1727) |
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) |
| Der englische Astronom, Mathematiker, Physiker und Naturphilosoph Sir Isaac Newton zählt zu den bedeutendsten Forschern der Geschichte. Newton lieferte in vielen Wissensgebieten bedeutende Beiträge. Er studierte ab 1661 an der Universität Cambridge, wo er bahnbrechende theoretische Ansätze über die Natur des Lichtes, über die Gravitation und die Planetenbewegung sowie über die mathematischen Probleme, die mit Tangenten-, Flächen- und Schwerpunktsberechnungen zusammenhängen, entwickelte. Seine Entdeckungen und Theorien bildeten die Basis für ein naturwissenschaftliches Weltbild, das über 200 Jahre Gültigkeit hatte. |
Mit seiner Monadentheorie avancierte der Philosoph und Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz zu einer zentralen Gestalt des Geisteslebens seiner Zeit. 1675 entdeckte Leibniz die Grundlagen der Differentialrechnung. Der englische Naturwissenschaftler Sir Isaac Newton hatte sein Prinzip der Infinitesimalrechnung unabhängig davon bereits 1666 entwickelt. Leibniz veröffentlichte sein System 1684, Newton folgte 1687, doch setzte sich das Leibniz’sche Zeichensystem durch. 1672 erfand er eine Rechenmaschine, die multiplizieren, dividieren und die Quadratwurzel ziehen konnte. Auch befasste er sich intensiv mit Logik. |
Im vierten Semester wird die Differentialrechnung vertieft und fortgeführt. Darüber hinaus ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in diesem Semester die Integralrechnung, mit deren Hilfe Flächeninhalte berechnet werden können. Aber auch verschiedene Anwendungen, je nach Interessenslage etwa aus dem Bereich der Physik oder der Wirtschaftswissenschaften, bilden einen weiteren Schwerpunkt dieses Semesters.
Im fünften Semester wird ein anderes Teilgebiet der Mathematik behandelt. Am Köln-Kolleg ist es üblich, dass die möglichen Themen vom jeweiligen Fachlehrer vorgestellt werden und dass die Studierenden in diesem Zusammenhang ein Mitspracherecht haben, welches Thema im 5. Semester behandelt wird. Die Fachlehrer und Studierenden können sich entweder für die „Analytische Geometrie und lineare Algebra“ oder für die „Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik“ entscheiden.
Das sechste Semester soll einerseits den Unterrichtsstoff der vorherigen Semester vertiefend wiederholen, andererseits ist es der Vorbereitung auf die Abiturprüfung gewidmet.
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Mathematiker zur Analytischen Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung |
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René Descartes (1596 – 1650) |
René Descartes war eine der zentralen Gestalten der französischen Philosophie des 17. Jahrhunderts. Er prägte den Satz: „Cogito ergo sum” – „Ich denke, also bin ich”. Damit gründete er alle Erkenntnis auf das (anzweifelnde) Denken sowie auf das menschliche Selbstbewusstsein. Der bemerkenswerteste Beitrag Descartes’ zur Mathematik war seine Systematisierung der analytischen Geometrie. |
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Carl Friedrich Gauß (1777-1855) |
Carl Friedrich Gauß zählt zu den bedeutendsten Mathematikern und herausragendsten Naturforschern der Geschichte. Kaum ein Zweig der Mathematik oder der mathematischen Physik blieb von Gauß unberührt.
Gauss entwickelte u.a. ein effektives Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten, das Gauß’sche Eliminationsverfahren. In der Wahrscheinlichkeits-rechnung ist die Gauß’sche Normalverteilung bekannt. |
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Jakob Bernoulli (1655 – 1705) |
Er trug mit seinem Bruder Johann entscheidend zur Anwendung der Infinitesimalrechnung auf Geometrie und Mechanik bei, förderte die Wahrscheinlichkeitsrechnung und lieferte wichtige Beiträge zur Theorie der Differentialgleichungen.
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